Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足：
（1）對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥2；
（2）f（1）=3
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（ I）求f（0）的值；
（ II）求f（x）的最大值；
（ III）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足．求證：．

Answer 1

（I）解：令x₁=x₂=0，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，則f（0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2．
由對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥2，∴f（0）≥2，故f（0）=2；
（II）對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，則0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2≥f（x₁），
∴f_max（x）=f（1）=3；
（III）∵①，
∴②，
①-②得：，
由，得：，解得a₁=1．
∵a₁=1≠0，∴（n≥2），
∴．
∴
∴，即．
所以

=
==．
故
∴=．
即原不等式式成立．
分析：（Ⅰ）取特值x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2后可求得f（0）≤2，又對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥2，由此可得f（0）=2；
（Ⅱ）在[0，1]內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，規(guī)定x₁＜x₂后，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2推出f（x₂）≥f（x₁），由此可得f（x）的最大值為3；
（Ⅲ）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，把轉(zhuǎn)化為，然后代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，變形整理后得即，循環(huán)放大得到，代入求證的不等式左邊化簡(jiǎn)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用放縮法求證不等式，考查了學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，是難度較大的題目．