Question

在拋物線y²=16x內有一點G（4，4）拋物線的焦點為F，若以F，G為焦點作一個與拋物線相交且長軸最短的橢圓，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：如圖所示，由拋物線的定義可得，P′G+P′F=P′G+P′Q′≥GQ′＞GQ，而PF+PG=PG+PQ=GQ，故點P就是滿足條件的橢圓上的點，根據(jù)此橢圓的長軸2a=GQ，半焦距c=

FG

2

，可得橢圓的離心率e=

c

a

的值．

解答： 解：由題意可得，焦點F（4，0），如圖所示：過點G（4，4）作一條平行于x軸的直線，交拋物線于點P，交拋物線的準線于點Q．
在拋物線上，除了點P外，再任意取一點P′，過點P′作一條平行于x軸的直線，交拋物線的準線于點Q′，
則由拋物線的定義可得，P′G+P′F=P′G+P′Q′≥GQ′＞GQ，而PF+PG=PG+PQ=GQ，故點P就是滿足條件的橢圓上的點，
此橢圓的長軸2a=GQ=4+4=8，a=4，橢圓的半焦距c=

FG

2

=2，故橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查拋物線、橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題．