Question

設(shè)命題p：存在a＞0，使函數(shù)f(x)=x+

a

x

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增；命題q：對(duì)任意x∈R，不等式|x-1|-|x+2|＜4a都成立．
（1）若“p且q”為真，求a的取值范圍；
（2）若“?p且?q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先確定出每個(gè)命題為真時(shí)a的范圍：若p為真，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0在（1，2）上恒成立；若q為真，則4a＞（|x-1|-|x+2|）_max．
（1）p真，q真時(shí)的兩不等式同時(shí)成立，解不等式組；
（2）先由復(fù)合命題的否定方法，將“￢p且￢q”為假轉(zhuǎn)化為“p或q為真”然后解不等式．

解答： 解：要使p為真：即存在a＞0，使函數(shù)f(x)=x+

a

x

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，
只需f′（x）=1-

a

x2

≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
只需a≤x²恒成立，x∈（1，2）；∴a≤（x²）_min=1，
∴若p為真，則0＜a≤1；
要使q為真，只需對(duì)任意x∈R，不等式|x-1|-|x+2|＜4a，
只需（|x-1|-|x+2|）_max＜4a
結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，|x-1|-|x+2|≤|（x-1）-（x+2）|=3，
∴若q為真，則4a＞3，即a＞

3

4

；
（1）若“p且q”為真，則

0＜a≤1 a＞ 3 4

，解得

3

4

＜a≤1．
（2）若“￢p且￢q”為假，則“p或q”為真，
∴0＜a≤1或a＞

3

4

，解得a＞0，
∴a＞0即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題兩個(gè)命題都涉及到了不等式恒成立的問題，一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；同時(shí)復(fù)合命題的否定，要注意邏輯連接詞的變化．