Question

已知點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF₁F₂的內(nèi)心，有關(guān)下列命題：
①若S△PF1F2=3

3

，則∠F₁PF₂=

2π

3

；
②若離心率為

5

4

，且|S △IPF1-S △IPF2|=λS △IF1F2，則λ=

4

5

③若離心率為

5

4

，則點(diǎn)I的橫坐標(biāo)x₁滿足：|x₁|=4
④若點(diǎn)I的橫坐標(biāo)x₁滿足：|x₁|=3，則雙曲線的半焦距c=3

2

，
其中正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用雙曲線的定義和余弦定理、面積公式，結(jié)合二倍角公式即可判斷①；
運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的面積公式，計(jì)算即可判斷②；
運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求得a=4，再由圓的切線性質(zhì)，計(jì)算即可判斷③；
由③的結(jié)論，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n則有m-n=2a，
由于∠F₁PF₂=θ，由余弦定理得m²+n²-2mncosθ=4c²，
∵S△PF1F2=3

3

，∴

1

2

mnsinθ=3

3

，
∵c²-a²=9，則可得，

1-cosθ

sinθ

=

3

，由二倍角公式可得tan

θ

2

=

3

，
則

θ

2

=

π

3

，即∠F₁PF₂=

2π

3

，則①對(duì)；
對(duì)于②，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_△IPF1 =

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△I F₁F₂=

1

2

•2c•r=cr，
由題意得

1

2

|PF₁|•r=

1

2

|PF₂|•r+λcr，故 λ=

|PF1|-|PF2|

2c

=

a

c

=

1

e

=

4

5

，
則②對(duì)；
對(duì)于③，若離心率為

5

4

，則c=

5

4

a，由c²-a²=9，解得a=4，
設(shè)邊PF₁、PF₂、F₁F₂上的切點(diǎn)分別為M、N、D，易見(jiàn)I、D橫坐標(biāo)相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2a，得|MF₁|-|NF₂|=2，即|F₁D|-|F₂D|=2a，
記I的橫坐標(biāo)為x₁，則D（x₁，0），于是：x₁+c-（c-x₁）=2a，
得x₁=4，則③對(duì)；
對(duì)于④，由③可得a=3，又b=3，則c=3

2

．則④對(duì)．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和方程及性質(zhì)，考查三角形的余弦定理和面積公式，考查圓的切線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．