Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2-a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₃+b₇=18，且b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由前n項和與第n項的關(guān)系，可得，求出此等比數(shù)列的通項公式；由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，由，求得，從而寫出等差數(shù)列 的通項公式．
（Ⅱ），用錯位相加法進(jìn)行數(shù)列求和，得到T_n 的結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）由題意S_n=2-a_n ①，當(dāng)n≥2時，S_n-1=2-a_n-1 ②，①-②得  a_n=S_n-S_n-1 =a_n-1-a_n ，
即，又a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1，故數(shù)列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．
由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則，所以，b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
綜上，數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式為 ．
（Ⅱ），=  ③
∴2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，④
③-④得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
整理得，所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)遞推關(guān)系求通項，用錯位相加法進(jìn)行數(shù)列求和，用錯位相加法求出T_n=（2n-3）•2ⁿ+3，是解題的難點．