Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{（\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}-1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n與$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=n²-n（n≥2）作差可知a_n=$\frac{1}{2n}$（n≥2），進而檢驗當n=1時也滿足即可；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1）=n²-n（n≥2），
兩式相減得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=（n²+n）-（n²-n）=2n，即a_n=$\frac{1}{2n}$（n≥2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1+1=2，即a₁=$\frac{1}{2}$滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{2n}$；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{（\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．