Question

【題目】橢圓與軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意直線(xiàn)方程為，即，根據(jù)題設(shè)條件列出方程組，求解的值，即可求得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的縱截距為0；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓的方程，由和韋達(dá)定理，得，利用垂直平分線(xiàn)的方程，即可求得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)在軸上截距的取值范圍.

試題解析：（1）由題意，直線(xiàn)方程為，即，

由，得故橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的縱截距為0；

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入得………………（*）.

由，得，

設(shè)，，的中點(diǎn)，

根據(jù)（*）及韋達(dá)定理，有，，

于是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，

令，得中垂線(xiàn)的縱截距，由，得，

綜上，縱截距的取值范圍為.