Question

5．已知復(fù)數(shù)${z_1}=（{\sqrt{3}sinx-cosx}）+（{sinx+\sqrt{3}cosx}）i，{z_2}=（{1-\sqrt{3}sinx}）+（{sinx-\sqrt{3}cosx}）i$；（x∈R，i為虛數(shù)單位）
（Ⅰ）當(dāng)z₁是純虛數(shù)時(shí)，求x的取值；
（Ⅱ）設(shè)$f（x）=|{z_1}+{z_2}{|^2}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由z₁的實(shí)部為0且虛部不為0求x的取值；
（Ⅱ）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算求得z₁+z₂，進(jìn)一步求其模的平方，然后利用換元法及配方法求函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)z₁是純虛數(shù)時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}sinx-cosx=0}\\{sinx+\sqrt{3}cosx≠0}\end{array}\right.$，
由$\sqrt{3}sinx-cosx=0$，得tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
滿足$sinx+\sqrt{3}cosx≠0$；
（Ⅱ）∵z₁+z₂=（1-cosx）+（2sinx）i，
∴$f（x）=|{z_1}+{z_2}{|^2}$=（1-cosx）²+4sin²x=1-2cosx+cos²x+4sin²x
=1-2cosx+cos²x+4（1-cos²x）=-3cos²x-2cosx+5．
令t=cosx（-1≤t≤1），
則g（t）=-3t²-2t+5=$-3（t+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}$．
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{3}$時(shí)，$g（t）_{max}=\frac{16}{3}$，當(dāng)t=1時(shí)，g（t）_min=0．
∴f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{16}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了利用換元法及配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．