Question

（2008•臨沂二模）已知點H（0，-3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（I）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動點M的軌跡為C，如果過定點A（x₀，y₀）的直線與曲線C相交不同的兩點S、R，求證：曲線C在S、R兩點處的切線的交點在一條定直線上．

Answer 1

分析：（I）設P（a，0），Q（0，b）（b＞0），M（x，y）．利用

HP

•

PM

=0，即可得到a，b的關系，再利用

PM

=-

3

2

MQ

，即可用x，y表示a，b，進而得到點M的軌跡方程．
（II）解法一：設S(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，即得直線SR的方程，又A點在SR上，即可得到y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
對y=

1

4

x2求導得：y′=

1

2

x．即可得到拋物線上S、R處的切線方程，聯(lián)立解得x，y代入①得即可．
解法二：當過點A的直線斜率不存在時與題意不符．設直線SR的方程為y-y₀=k（x-x₀），與拋物線方程聯(lián)立即可得到根與系數的關系．設S1(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，由過S，R點的切線方程聯(lián)立可得交點的坐標，再利用根與系數的關系，即可得出．

解答：解：（I）設P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵點M在直線PQ上，

HP

•

PM

=0，
∴

HP

•

PQ

=(a，3)•(-a，b)=-a2+3b=0，
∴a²=3b，

設M(x，y)，由 PM =- 3 2 MQ 得， (x-a，y)-= 3 2 (-x，-y+b)

∴

x-a= 3 2 x y= 3 2 (y-b)

∴

a= 1 2 x b= 1 3 y(b＞0)

∴y=

1

4

x2(x≠0)
點M的軌跡方程為y=

1

4

x2(x≠0)．
（II）解法一：設S(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，
則直線SR的方程為：y-

1

4

x

2 1

=

1 4 x 2 2 - 1 4 x 2 1

x2-x1

(x-x1)
即y=

1

4

(x1+x2)x-

x1x2

4

．
∵A點在SR上，
∴y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
對y=

1

4

x2求導得：y′=

1

2

x．
∴拋物線上S、R處的切線方程為：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

②
y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x2(x-x2)即y=

x2x

2

-

x 2 2

4

③
聯(lián)立②③，并解之得

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

代入①得
y0=

x0x

2

-y，即x0x-2y-2y0=0，
故切線的交點在定直線x₀x-2y=2y₀=0上．
解法二：當過點A的直線斜率不存在時與題意不符．設直線SR的方程為y-y₀=k（x-x₀）
代入拋物線方程得x²-4kx+4x₀k-4y₀=0．
設S1(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)
由韋達定理

x1+x2=4k x1x2=4(x0k-y0)

（*）
又過S，R點的切線方程分別是：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，y=

x2

2

x-

x 2 2

4

∴兩切線的交點為

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

，
代入（*）得

x=2k y=x0k-y0

(k為參數)，
消去k，得x₀x-2y-2y₀=0
故切線的交點在定直線x₀x-2y-2y₀=0上．

點評：熟練掌握向量的運算、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數的關系、導數的幾何意義、切線方程等是解題的關鍵．