Question

【題目】已知函數(shù)，，其中，設(shè)．

（1）如果為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)、滿足的條件；

（2）在（1）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒有成立．證明：當(dāng)時(shí)，成立．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)對應(yīng)的表達(dá)式，得到關(guān)于的關(guān)系式，分析等式恒成立的條件即可得到滿足的條件；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，求解出關(guān)于的不等式，即可求解出的取值范圍；

(3)由得到間的不等關(guān)系，再根據(jù)作差法以及不等式的性質(zhì)證明在時(shí)成立.

（1），設(shè)的定義域?yàn)?/span>，

∵為奇函數(shù)，∴對于任意，成立．

即：化簡得：，

因?qū)τ谌我?/span>都成立，

∴，

即，.

（2）由（1）知，，

∵在上為增函數(shù)，

∴任取時(shí)，恒成立．

即任取時(shí)，成立，

也就是成立．

∴，即的取值范圍是．

（3）因?yàn)槿我獾?/span>恒有成立，

所以對任意的，，

即恒成立．

所以判別式，

從而，∴，且，

因此且．

故當(dāng)時(shí)，有．

即當(dāng)時(shí)，成立．