Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，CD是△ABC的AB邊上的高，DE⊥AC于E、F為BC上一點(diǎn)，連接EF交CD于G．∠CFE-∠EDC．
（1）證明：A、B、F、E四點(diǎn)共圓；
（2）若∠ACB=90°，CE=4，EA=16，BF=2，求A、B、F、E所在圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）證明∠EDG=∠A，利用∠CFE=∠EDC，可得∠CFE=∠A，從而可得A、B、F、E四點(diǎn)共圓；
（2）設(shè)A、B、F、E所在圓的圓心為O，半徑為R，P為AE的中點(diǎn)，Q為BF的中點(diǎn)，則OP⊥AC，OQ⊥BF，從而可得四邊形OQCP是矩形，OQ=12，由此可求A、B、F、E所在圓的半徑．

解答：（1）證明：∵CD是△ABC的AB邊上的高，∴∠EDG+∠EDA=90°
∵DE⊥AC，∴∠A+∠EDA=90°
∴∠EDG=∠A
∵∠CFE=∠EDC
∴∠CFE=∠A
∴A、B、F、E四點(diǎn)共圓；
（2）設(shè)A、B、F、E所在圓的圓心為O，半徑為R，P為AE的中點(diǎn)，Q為BF的中點(diǎn)，
則OP⊥AC，OQ⊥BF
∵∠ACB=90°，∴四邊形OQCP是矩形，即OQ=12
∴R=OB=

OQ2+QB2

=

145

∴A、B、F、E所在圓的半徑為

145

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法是關(guān)鍵．