【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x,g(x)=2log2(2x+a),a∈R
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若對(duì)任意x∈[1,4],f(4x)≤g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)a>﹣2,求函數(shù)h(x)=g(x)﹣f(x),x∈[1,2]的最小值.
【答案】
(1)解:若x<0,則﹣x>0,∴f(﹣x)=log2(﹣x),
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(﹣x),
又f(0)=0,
∴f(x)=
(2)解:由f(4x)≤g(x)得log2(4x)≤2log2(2x+a),
∴(2x+a)2≥4x,
∵2x+a>0,x>0,
即2x+a≥2 ,∴a≥2 ﹣2x,
設(shè) =t,則t∈[1,2],令p(t)=2t﹣2t2,
則p(t)在[1,2]上單調(diào)遞減,
∴﹣4≤p(t)≤0.
∴a≥0.
(3)解:h(x)=g(x)﹣f(x)=2log2(2x+a)﹣log2x=log2 ,
令q(x)= =4x+ +4a,
令q′(x)=0得x= ,
①若 ≤1即﹣2<a≤2時(shí),q(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,
∴q(x)的最小值為q(1)=a2+4a+4=(a+2)2,
∴h(x)的最小值為log2(a+2)2=2log2(a+2);
②若 ≥2即a≥4時(shí),q(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,
∴q(x)的最小值為q(2)=8+ +4a= (a+4)2,
∴h(x)的最小值為log2[ (a+4)2]=﹣1+2log2(a+4);
③若1< <2即2<a<4時(shí),q(x)在[1,2]上先減后增,
∴q(x)的最小值為q( )=8a,
∴h(x)的最小值為log2(8a)=3+log2a.
綜上:當(dāng)﹣2<a≤2時(shí),h(x)的最小值為2log2(a+2);
當(dāng)2<a<4時(shí),h(x)的最小值為3+log2a;
當(dāng)a≥4時(shí),h(x)的最小值為﹣1+2log2(a+4)
【解析】(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)在(﹣∞,0)上的解析式,再結(jié)合f(0)=0得出f(x)在定義域上的解析式;(2)分離參數(shù)可得a≥2 ﹣2x,利用換元法求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍;(3)討論a的范圍,判斷h(x)的單調(diào)性,從而可得h(x)的最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在整數(shù), ,使得的解集恰好是,若存在,求出, 的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)當(dāng) 時(shí),求證: ;
(3)若 對(duì)任意的 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,當(dāng) 時(shí),函數(shù) 取得極值 .
(Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;
(Ⅱ)若方程 有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+2b
(1)若a,b都是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任意取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的概率;
(2)若a,b都是從區(qū)間[0,3]中任取的一個(gè)數(shù),求f(1)<0成立時(shí)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是四棱錐的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. 平面平面ABCD
B. 直線BE,CF相交于一點(diǎn)
C. EF//平面BGD
D. 平面BGD
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn),求得取值范圍;
(3)若函數(shù), 的最小值為0,求實(shí)數(shù)的值.
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