Question

求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1，x∈R．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分3種情況討論：（1）x=1時(shí)，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得S_n，（3）x≠1時(shí)，用錯(cuò)位相減法，可得答案．

解答：解，根據(jù)題意，分3種情況討論：
（1）x=1時(shí)，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
（2）當(dāng)x≠1時(shí)，
設(shè)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
則xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，②
①-②可得：（1-x）S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=1-nxⁿ+

x(1-xn-1)

1-x

則S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．
故當(dāng)x=0時(shí)，S_n=1；
當(dāng)x=1時(shí)，S_n=

n(n+1)

2

，
當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，注意按x的值不同，分3種情況討論，容易遺漏x=0的情況．