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18.已知M是直線l:x=-1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,0),過(guò)M的直線l′與l垂直,并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),直線AP與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B(B與A′不重合),是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得T,A′,B三點(diǎn)共線?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)由題意可知:丨NM丨=丨NF丨,即曲線C為拋物線,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x;
(Ⅱ)設(shè)A(a24,a),則A′(a24,-a),直線AB的方程y=4aa28(x-2),代入拋物線方程,求得B的坐標(biāo),A′B的方程為y+a=-4a8+a2(x-a24),則令y=0,則x=-2,直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T(-2,0),即可求得存在一個(gè)定點(diǎn)T(-2,0),使得T,A′,B三點(diǎn)共線

解答 解:(Ⅰ)由題意可知:丨NM丨=丨NF丨,即曲線C為拋物線,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),
準(zhǔn)線方程為l:x=-1,
∴點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x;

(Ⅱ)設(shè)A(a24,a),則A′(a24,-a),
直線AP的斜率kAP=aa242=4aa28,
直線AB的方程y=4aa28(x-2),
{y2=4xy=4aa28x2,整理得:ay2-(a2-8)y-8a=0,
設(shè)B(x2,y2),則ay2=-8,則y2=-8a,x2=16a2,
則B(16a2,-8a),
又A′(a24,-a),
∴A′B的方程為y+a=-4a8+a2(x-a24),
令y=0,則x=-2,
直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T(-2,0),
因此存在定點(diǎn)(-2,0),使得T,A′,B三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的斜率及方程,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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上面命題中,正確的序號(hào)為( �。�
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