Question

（文）函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0，

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤4^t-3•2^t+3對所有x∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數的單調性的定義可知，要證明函數f（x）在[-1，1]上是增函數，只要證明任取-1≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）由不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)，結合（1）可得-1≤x+

1

2

≤

1

x-1

≤1，解不等式可求x
（3）結合函數f（x）在[-1，1]是增函數，且f（1）=1，可得f（x）的最大值1，則由f（x）≤4^t-3•2^t+3對所有x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）_max≤4^t-3•2^t+3即可，從而可求

解答：證明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1．
∵f（x）為奇函數，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)，
∵

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數
（2）f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

?{x|-

3

2

≤x＜-1}
（3）由（1）知f（x）在[-1，1]是增函數，且f（1）=1，
∴x∈[-1，1]時，f（x）≤1．
∵f（x）≤4^t-3•2^t+3對所有x∈[-1，1]恒成立，
∴4^t-3•2^t+3≥1恒成立，
∴（2^t）²-3•2^t+2≥0即2^t≥2或2^t≤1
∴t≥1或t≤0．

點評：本題主要考查了函數的單調性的定義的應用，及利用函數的單調性求解不等式，求解函數的最值，以及函數的恒成立與函數的最值的相互轉化．