Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2+lnx，a∈R． （Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=0時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）+bx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）= ax2+lnx，x＞0， ∴f′（x）=ax+ ，
∵曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=﹣2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+ ，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）=ax+ ＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x= = ，
當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
（Ⅲ）a=0時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=﹣bx，
要使得h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即使得m（x）和n（x）圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖），
容易求得m（x）和n（x）的切點(diǎn)為（e，1），
∴0＜﹣b＜ ，即﹣ ＜b＜0．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出k，b的值，（Ⅱ）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出．（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，若函數(shù)h（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．