Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見(jiàn)詳解；

【解析】

（1）由題可求得，，所以，所以時(shí)，，為增函數(shù)，結(jié)合題意，得出，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由于函數(shù)有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，求出，寫出韋達(dá)定理，，得出，構(gòu)造新函數(shù)，，通過(guò)求新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，從而求出最值，即可證明出.

解：（1），

可知的定義域?yàn)?/span>，

，

又，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，

，即，解得：，

則實(shí)數(shù)的取值范圍為，

（2）由于函數(shù)有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，

則在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即：方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

令，可知，

則，即，解得：.

且，，

所以，，

，

令，，

則，，

再令，，

由于，則，對(duì)稱軸為：，

得：，

可知， ，，而，

則時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減；

而，

由于，且，

解得：，

所以，

即。