Question

已知f(x)=2

3

cos2x+6sinxcosx-

3

(x∈R)，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并指出函數(shù)y=f（x）的圖象是由函數(shù)y=2

3

sin2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值，并求出函數(shù)取最值時(shí)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)，得到y(tǒng)=2

3

sin（2x+

π

6

），進(jìn)而得到單調(diào)遞減區(qū)間；y=2

3

sin2x向左平移

π

12

得到y(tǒng)=2

3

sin（2x+

π

6

）；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，，求出2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而得到sin（2x+

π

6

）的范圍，從而得到函數(shù)f（x）的 范圍，從而求得函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=

3

（1+cos2x）+3sin2x-

3

=

3

（cos2x+

3

sin2x）
=2

3

sin（2x+

π

6

）

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z
y=2

3

sin2x向左平移

π

12

得到y(tǒng)=2

3

sin（2x+

π

6

）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）min=-

3

，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）max=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的三角函數(shù)，求三角函數(shù)的值域，求三角函數(shù)的值域是解題的難點(diǎn)．