Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x+ln（x+1）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；并判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的解析式，先設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，解出f（-x），再由奇函數(shù)的定義得到f（-x）=-f（x），兩者聯(lián)立解出x∈[-1，0]，上的解析式．再將f（x）的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式．
（2）不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0可由奇函數(shù)的性質(zhì)變?yōu)閒（2x-1）≥f（x²-1），利用單調(diào)性解這個(gè)抽象不等式即可．

解答：解：（1）設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=

1

2x

+ln(1-x)-1．（3分）
又f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
于是f（x）=-f（-x）=-

1

2x

-ln(1-x)+1．（5分）
故f(x)=

- 1 2x -ln(1-x)+1，(-1≤x＜0) 2x+ln(x+1)-1    (0≤x≤1).

（6分）
判斷：f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；（8分）
（2）因奇函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
所以f（2x-1）+f（1-x²）≥0?f（2x-1）≥f（x²-1） （10分）
?

2x-1≥x2-1 -1≤2x-1≤1 -1≤x2-1≤1

?

0≤x≤2 0≤x≤1 - 2 ≤x≤ 2 .

（14分）
解得0≤x≤1，所以不等式的解集為{x|0≤x≤1}．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用奇偶性求函數(shù)的解析式以及用單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合解抽象不等式，在解抽象不等式時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)，別漏了條件，這是本題易錯(cuò)的地方．