(2007•長寧區(qū)一模)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外,每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元,經(jīng)測(cè)算,市場對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件,且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時(shí),銷售所得的收入約為5t-
12
t2
(萬元).
(1)若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(單位:百件).試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量x多大時(shí),當(dāng)年所得利潤y最大?
分析:(1)由已知中某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外,每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元,經(jīng)測(cè)算,市場對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件,且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時(shí),銷售所得的收入約為5t-
1
2
t2
(萬元).根據(jù)年利潤=銷售額-成立,構(gòu)造出該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).
(2)根據(jù)(1)的分段函數(shù)解析式,我們分別求出各段上函數(shù)的最大值,進(jìn)而得到該公司當(dāng)年所得利潤y的最大值,及相應(yīng)的生產(chǎn)量.
解答:解:(1)由題意得:
y=
(5x-
1
2
x2)-0.5-0.25x,0<x≤5
(5×5-
1
2
×52)-0.5-0.25x,x>5
=
-
1
2
x2+
19
4
x-
1
2
,0<x≤5
-
1
4
x+12,x>5
(6分)
(2)當(dāng)0<x≤5時(shí),函數(shù)對(duì)稱軸為x=
19
4
=4.75∈(0,5)

故x=4.75時(shí)y最大值為
345
32
.                                 (3分)
當(dāng)x>5時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,故y<-
5
4
+12=
43
4
345
32
,(3分)
所以當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)所得利潤最大.                     (2分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)的值域,分段函數(shù)的解析式求法,二次函數(shù)的性質(zhì),其中(1)中要注意由于市場對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件,故要分0<x≤5,x>5兩種情況將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)模型,(2)要注意分段函數(shù)最值,分段處理.
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π2
x-1
的最小正周期為
4
4

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an=
3(n=1)
4
2n
(n≥2)
an=
3(n=1)
4
2n
(n≥2)

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3
|cos
π
2
x|(x≥0)
,圖象的最高點(diǎn)從左到右依次記為P1,P3,P5,…,函數(shù)y=f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右依次記為P2,P4,P6,…,設(shè)Sn=
P1P2
P2P3
+(
P2P3
P3P4
)2
+(
P3P4
P4P5
)3
+(
P4P5
P5P6
)4
+…+(
PnPn+1
pn+1pn+2
)n
,則
lim
n→∞
Sn
1+(-2)n
=
2
3
2
3

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log23
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2
,+∞)
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,+∞)

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