將兩塊三角板按圖甲方式拼好(A、B、C、D四點(diǎn)共面),其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=2,現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起,使點(diǎn)D在平面ABC上的射影O恰好在AB上(如圖乙).
(1)求證:AD⊥平面BDC;
(2)求二面角D-AC-B的大;
(3)求異面直線AC與BD所成角的大。

解:(1)證明:由已知DO⊥平面ABC,
∴平面ADB⊥平面ABC,
又∵BC⊥AB,∴BC⊥平面ADB,
又∵AD?平面ADB,∴BC⊥AD,
又∵AD⊥DC,∴AD⊥平面BDC    
(2)由(1)得AD⊥BD,
由已知AC=2,得,AD=1,
∴BD=1,∴O是AB的中點(diǎn),
過(guò)D作DE⊥AC于E,連接OE,則OE⊥AC.
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角,
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/116701.png' />,


即二面角D-AC-B的大小為
(3)取AC的中點(diǎn)G,連接OG,以O(shè)為原點(diǎn),分別以GO、OB、OD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
,

設(shè)AC與BD所成的角為α,
,∴α=60°.
即異面直線AC與BD所成角的大小為60°.
(由D在平面ABC上的射影一定要落在,平面圖形ABCD中,過(guò)D點(diǎn)與AC垂直的直線上,由平面幾何知識(shí)可得O為AB中點(diǎn))
分析:(1)在平面內(nèi)找兩條相交直線,再分別證明這兩條直線與已知直線垂直,即可利用線面垂直的判定定理得到得到線面垂直.
(2)利用題中的垂直關(guān)系作出二面角的平面角,再證明此角是所求角,然后放入三角形中利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求解答案即可.
(3)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量與直線AC所在的向量,結(jié)合向量之間的基本運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角.
點(diǎn)評(píng):夾角此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)題中,不但利用題中的線面關(guān)系夾角平行、垂直、空間角等問(wèn)題,也可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系借助與向量解決以上問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=2,現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起,使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,如圖乙.
(I)求證:BC⊥AD;
(II)求證:O為線段AB中點(diǎn);
(III)求二面角D-AC-B的大小的正弦值.

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精英家教網(wǎng)將兩塊三角板按圖甲方式拼好(A、B、C、D四點(diǎn)共面),其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=2,現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起,使點(diǎn)D在平面ABC上的射影O恰好在AB上(如圖乙).
(1)求證:AD⊥平面BDC;
(2)求二面角D-AC-B的大。
(3)求異面直線AC與BD所成角的大。

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(2008•襄陽(yáng)模擬)將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=2,現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起,使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,如圖乙.
(1)求證:AD⊥平面BDC;
(2)求二面角D-AC-B的大。

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將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中,,,AC = 2,現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起,使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,如圖乙.

(I)求證:BC ⊥AD;
(II)求證:O為線段AB中點(diǎn);
(III)求二面角D-AC-B的大小的正弦值.

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(本題共10分)

將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中,,

,現(xiàn)將三角板沿折起,使在平面上的射影恰好在上,如圖乙.

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

 

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