【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數(shù)取什么值都有.

【答案】（1）答案見解析； (2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求得定義域為，求導通分后研究導函數(shù)的分子，利用判別式對分子根的個數(shù)和分布進行分類討論，由此求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由（1）知時有兩個極值點，且，由此利用差比較法，計算的最小值為，即可得證.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.

，記，判別式.

①當即時，恒成立，，所以在區(qū)間上單調遞增.

②當或時，方程有兩個不同的實數(shù)根，記，，顯然

（ⅰ）若，圖象的對稱軸，.

兩根在區(qū)間上，可知當時函數(shù)單調遞增，，所以，所以在區(qū)間上遞增.

（ⅱ）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當時，，所以，所以在上單調遞減.當或時，，所以，所以在上單調遞增.

綜上，當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知當時，沒有極值點，當時，有兩個極值點，且.

，

∴又，

.記，，則，所以在時單調遞增，，所以，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)悉遵義市紅花崗區(qū)、匯川區(qū)2017年現(xiàn)有人口總數(shù)為110萬人，如果年自然增長率為％，試解答以下問題：

（1）寫出經過年后，遵義市人口總數(shù)（單位：萬人）關于的函數(shù)關系式；

（2）計算10年以后遵義市人口總數(shù)（精確到0.1萬人）；

（3）計算經過多少年后遵義市人口將達到150萬人（精確到1年）

（參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)的定義域為D，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左焦點為，其左、右頂點為、，橢圓與軸正半軸的交點為，的外接圓的圓心在直線上.

（I）求橢圓的方程；

（II）已知直線：，是橢圓上的動點，，垂足為，是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，圓，點為拋物線上的動點，為坐標原點，線段的中點的軌跡為曲線.

（1）求拋物線的方程；

（2）點是曲線上的點，過點作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點.

求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了增強環(huán)保意識，某社團從男生中隨機抽取了60人，從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

男生

40

20

60

女生

20

30

50

總計

60

50

110

（1）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關；

（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽，學校舉辦預選賽，現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學中選3人參加預選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學通過預選賽的概率為，若隨機變量表示這3人中通過預選賽的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．

附:＝

0．500

0．400

0．100

0．010

0．001

0．455

0．708

2．706

6．635

10．828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為減少空氣污染，某市鼓勵居民用電（減少燃氣或燃煤），采用分段計費的方法計算：電費每月用電不超過100度時，按每度0.57元計算；每月用電量超過100度時，其中的100度仍按原標準收費，超過的部分每度按0.5元計算.

（Ⅰ）設月用電度時，應交電費元，寫出關于的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）小明家第一季度繳納電費情況如下：

月份

一月

二月

三月

合計

交費金額

76元

63元

45.6元

184.6元

問小明家第一季度共用電多少度？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種產品的廣告費用支出與銷售額之間有如下的對應數(shù)據(jù)：

2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

（1）畫出散點圖；并說明銷售額y與廣告費用支出x之間是正相關還是負相關？

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求回歸直線方程；

（3）據(jù)此估計廣告費用為10時，銷售收入的值.

（參考公式：，）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.試比較與0的關系，并給出理由.

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