【題目】如圖,四棱錐中, 為等邊三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.
【答案】證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)取的中點為,連接, ,結(jié)合條件可證得平面,于是,又,故可得.(Ⅱ)由題意可證得, , 兩兩垂直,建立空間直角坐標系,通過求出平面和平面的法向量可求解本題.
試題解析:
證明:(Ⅰ)取的中點為,連接, ,
∵為等邊三角形,
∴.
在底面中,可得四邊形為矩形,
∴,
∵,
∴平面,
∵平面,
∴.
又,
∴.
(Ⅱ)∵平面面, ,
∴平面,
由此可得, , 兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.
∵直線與平面所成角為,即,
由,知,得.
則, , , ,
, , ,
設平面的一個法向量為.
由,得.
令,則.
設平面的一個法向量為,
由,得.
令,則,
∴ ,
由圖形知二面角為鈍角,
∴二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f (x)=ln x-x+1.
(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性;
(2)證明當x∈(1,+∞)時, ;
(3)設c>1,證明當x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某親子游戲結(jié)束時有一項抽獎活動,抽獎規(guī)則是:盒子里面共有5個小球,小球上分別寫有0,1,2,3,4的數(shù)字,小球除數(shù)字外其它完全相同,每對親子中,家長先從盒子中取出一個小球,記下數(shù)字后將小球放回,孩子再從盒子中取出一個小球,記下小球上數(shù)字將小球放回.抽獎活動的獎勵規(guī)則是:①若取出的兩個小球上數(shù)字之積大于8,則獎勵飛機玩具一個;②若取出的兩個小球上數(shù)字之積在區(qū)間上,則獎勵汽車玩具一個;③若取出的兩個小球上數(shù)字之積小于2,則獎勵飲料一瓶.
(1)求每對親子獲得飛機玩具的概率;
(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率,哪個更大?請說明理由.
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【題目】某公司試銷一種成本單價為500元的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800元.經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似看作一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),函數(shù)圖象如圖所示.
(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的表達式;
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元.試問銷售單價定為多少時,該公司可獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?
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【題目】已知橢圓:的離心率為,其左焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)過動點的直線交軸于點,交橢圓于點,在第一象限,,過點做軸的垂線交橢圓于點,連接并延長交橢圓于另一點.設直線的斜率分別為,證明:為定值.
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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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