Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

2

2

，P為橢圓上任一點，且△PF₁F₂的最大面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恒過原點O，若實數(shù)m滿足條件

AO

•

AB

=

m

tan∠OAB

，求m的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

e= c a = 2 2 Smax=bc=1 a2=b2+c2

，由此能求了出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程y=kx+n，由

x2+2y2=2 y=kx+n

，得：（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．求出m=|

AO

|•|

AB

|sin∠OAB=2S_△OAB．要求m的最大值，只需求S_△OAB的最大值，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，
離心率e=

2

2

，P為橢圓上任一點，且△PF₁F₂的最大面積為1，
∴

e= c a = 2 2 Smax=bc=1 a2=b2+c2

，解得：a=

2

，b=1，c=1，
所以橢圓C的方程

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設直線l的方程y=kx+n，
由

x2+2y2=2 y=kx+n

，得：（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．
由于以AB為直徑的圓恒過原點O，
于是

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）
=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2
=

n2-2k2

2k2+1

，
于是：

2n2-2

2k2+1

+

n2-2k2

2k2+1

=0，即3n²-2k²-2=0，
依題意有：

AO

•

AB

=

m

tan∠OAB

，即|

AO

|•|

AB

|cos∠OAB=

m

tan∠OAB

．
化簡得：m=|

AO

|•|

AB

|sin∠OAB=2S_△OAB．
因此，要求m的最大值，只需求S_△OAB的最大值，下面開始求S_△OAB的最大值：
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -4kn 2k2+1 )2-4× 2n2-2 2k2+1

=

1+k2

•

16k2-8n2+8

2k2+1

．
點O到直線AB的距離d=

|n|

1+k2

，
于是：S△OAB=

1

2

|AB|d
=

1

2

•

n2(16k2-8n2+8)

2k2+1

．
又因為3n²-2k²-2=0，所以2k²=3n²-2，
代入得S△OAB=

1

2

•

n2(16n2-8)

3n2-1

=

2

•

2n4-n2

3n2-1

．令t=3n²-1，得n²=

t+1

3

，
于是：S△OAB=

2

•

2 9 (t+1)2- t+1 3

t

=

2

•

2 9 t2+ 1 9 t- 1 9

t

=

2

•

1 9 (- 1 t2 + 1 t +2)

．
當

1

t

=

1

2

，即t=2，即n=±1時，
S_△OAB取最大值，且最大值為

2

2

．
所以m的最大值為

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．