已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a≠0,且a≠1),其前n項和Sn=
a
1-a
(1-an
(1)求證:{an}為等比數(shù)列;
(2)記bn=anlg|an|(n∈N*),Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,那么:
①當a=2時,求Tn;
②當a=-
7
3
時,是否存在正整數(shù)m,使得對于任意正整數(shù)n都有bn≥bm.如果存在,求出m的值;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)利用an=sn-sn-1得到整理得
an
an-1
=a,所以:{an}為等比數(shù)列;
(2)根據(jù)(1)an=an化簡得bn①當a=2時,Tn=(2+2•22++n•2n)lg2,2Tn=[22+2•23++(n-1)•2n+n•2n+1]lg2,兩式相減得到Tn;②如果存在滿足條件的正整數(shù)m,則m一定是偶數(shù).b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-
a2
1-a2
)lg|a|,其中k∈N+,判斷b2k+2-b2k的符號來求出m即可.
解答:解:(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=
a
1-a
(1-an-1),
整理得:
an
an-1
=a,
所以{an}是公比為a的等比數(shù)列;
(2)∵a1=a,∴an=an(n∈N*),
∴bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|(n∈N*),
①當a=2時,Tn=(2+2•22++n•2n)lg2,2Tn=[22+2•23++(n-1)•2n+n•2n+1]lg2,
兩式相減得:-Tn=(2+22+23++2n-n•2n+1)lg2,
②∵-1<a<1,∴當n為偶數(shù)時,bn=nanlg|a|>0;當n為奇數(shù)時,bn=nanlg|a|<0,
如果存在滿足條件的正整數(shù)m,則m一定是偶數(shù),
又b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-
a2
1-a2
)lg|a|,其中k∈N*,
當a=-
7
3
時,a2-1=
2
9
,
∴2a2k(a2-1)lg|a|>0,又
a2
1-a2
=
7
2
,
∴當k>
7
2
時,b2k+2>b2k,即bg<b10<b12;
當k<
7
2
時,b2k+2<b2k,即b8<b6<b4<b2,
故存在正整數(shù)m=8,使得對于任意正整數(shù)n都有bn≥bm
點評:考查學生會確定等比關(guān)系的能力,運用數(shù)列求和的能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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