Question

我們把離心率為e=

5 +1

2

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)稱為黃金曲線，O為坐標原點，如圖所示，給出以下幾個命題：
①雙曲線x2-

2y2

5 +1

=1是黃金曲線；
②若b²=ac，則該雙曲線是黃金曲線；
③若∠F1B1A2=900，則該雙曲線是黃金曲線；
④若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金曲線；
其中正確的是

①②③④

．

Answer 1

分析：對于①求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于②通過a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于③通過∠F₁B₁A₂=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于④利用∠MON=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；

解答：解：①雙曲線x2-

2y2

5 +1

=1可知，a=1，b²=

5 +1

2

，所以c²=

5 +3

2

，
所以雙曲線的離心率為

5 +3 2

1

=

5 +1

2

，是黃金曲線，正確；
②b²=ac，即-a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

則該雙曲線是黃金曲線；正確．
③因為∠F₁B₁A₂=90°，所以（a+c）²=a²+2b²+c²，即-a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

則該雙曲線是黃金曲線；正確．
④因為∠MON=90°，所以c=

b2

a

，即a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

則該雙曲線是黃金曲線；正確．
故答案為：①②③④

點評：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，a，b，c的關(guān)系，離心率的求法，考查計算能力．