Question

已知圓C過點A（0，a）（a為常數(shù)且a＞0），且與圓E：x²+y²-8x+4y=0切于原點．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點B（-1，0）總存在直線l，使得以l被圓C截得的弦為直徑的圓F經過點D（-1，1），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，利用圓系方程，結合以l被圓C截得的弦為直徑的圓F經過點D（-1，1），即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）圓E：x²+y²-8x+4y=0可化為（x-4）²+（y+2）²=20
則E點坐標為（4，-2），圓C與圓E切于原點，
所以C在OE上，即在直線y=-

1

2

x上，…（2分）
又圓C過A（0，a），O（0，0）兩點，所以C在直線y=

a

2

上，…（4分）
所以C（-a，

a

2

），所以圓C的半徑為OC=

5

2

a         …（6分）
圓C的方程為（x+a）²+（y-

a

2

）²=

5

4

a2     …（8分）
（2）圓C的方程可化為x²+y²+2ax-ay=0
（Ⅰ）當直線l斜率不存在時，直線l為x=-1，則圓F的方程可設為：x²+y²+2ax-ay+λ（x+1）=0，
經過點D（-1，1），則a=

2

3

，
又F在l上，所以-

2

3

-

λ

2

=-1，得λ=

2

3

圓F的方程為：x²+y²+2x-

2

3

y+

2

3

=0，符合題意．…（10分）
（Ⅱ）當直線l斜率存在時，直線l設為k（x+1）-y=0，則圓F的方程可設為：x²+y²+2ax-ay+λ（kx+k-y）=0，
∴F（-

λk+2a

2

，

a+λ

2

），
∵F在l上，
∴k（-

λk+2a

2

+1）-

a+λ

2

=0，
D（-1，1）代入可得λ=-3a+2，
∴（3a-2）k²+（2-2a）k+2a-2=0，
∴①3a-2=0，a=

2

3

，k=1滿足題意；
②3a-2≠0，△=（2-2a）²-4（3a-2）（2a-2）≥0，解得

3

5

≤a≤1且a≠

2

3

綜合（Ⅰ）（Ⅱ）得

3

5

≤a≤1．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．