Question

（2012•杭州二模）已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-ag（x），若x∈（0，2），函數(shù)F（x）不存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)G(x)=

(x-1)[f2(x)+g(x)]

g(x)

，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（1，t]，都有不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得F′(x)=

1-ax2

x

(x＞0)，分當(dāng)a≤0，和a＞0兩種情形來考慮，綜合可得a的范圍；
（Ⅱ）經(jīng)過多次等價(jià)轉(zhuǎn)化，問題等價(jià)于

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

，設(shè)函數(shù)h(x)=

f2(x)

g(x)

，問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，求導(dǎo)數(shù)可得h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值，可得結(jié)論．

解答：解：（I）由F(x)=lnx-

1

2

ax2，得F′(x)=

1

x

-ax=

1-ax2

x

(x＞0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0（x＞0），此時(shí)F（x）在（0，2）上無極值，
當(dāng)a＞0時(shí)，所以F（x）在區(qū)間(0，

1

a

)上遞增，在區(qū)間(

1

a

，+∞)上遞減，
所以要使得F（x）在（0，2）上不存在極值，只要

1

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，
綜合以上兩種情況可得a≤

1

4

．（6分）
（II）不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價(jià)于（t-1）G（x）≤（x-1）G（t），
等價(jià)于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

…（8分）
設(shè)函數(shù)h(x)=

f2(x)

g(x)

，問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，
即h（t）為h（x）的最大值，而h(x)=

f2(x)

g(x)

=

2ln2x

x2

，所以h′(x)=

4lnx(1-lnx)

x3

(x＞0)，（12分）
故h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，
因此t≤e，即實(shí)數(shù)t的最大值為e．                                                                   （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化法，屬中檔題．