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4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求三棱錐B1-BCD的體積.

分析 (1)由勾股定理得出AC⊥BC,又AC⊥CC1得出AC⊥平面BB1C1C,故而AC⊥BC1
(2)VB1BCD=13SBCDBB1

解答 解:(1)證明:∵CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴AC⊥CC1,
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴AC⊥BC,
又BC?平面BB1C1C,CC1?平面BB1C1C,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BB1C1C,又BC1?平面BB1C1C,
∴AC⊥BC1
(2)∵D是AB的中點,
∴S△BCD=12SABC=12×12×3×4=3,
∵BB1⊥平面ABC,BB1=AA1=4,
∴VB1BCD=13SBCDBB1=13×3×4=4.

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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