Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足$\frac{1}{{C{M^2}}}+\frac{1}{{C{N^2}}}=1$，若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$，則x+y的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 【解法一】由題意建立平面直角坐標系，設(shè)點M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；
求得b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，從而可得$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，
再設(shè)x+y=m，則x=m-y；利用判別式即可求出m的最小值；
【解法二】運用三角換元，根據(jù)方程組求出x，y；令$\frac{1}{4-a}$=sina，$\frac{1}{3-b}$=cosa，
計算x+y是一個關(guān)于sina，cosa的函數(shù)，比較容易看出它的最小值．

解答 解：【解法一】由題意建立平面直角坐標系，如圖所示；
設(shè)點M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；
∵$\overrightarrow{AC}$=（3，4），$\overrightarrow{AM}$=（3，a），$\overrightarrow{AN}$=（b，4）；
又∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，（x+y≥1）
∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+yb=3}\\{xa+4y=4}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，
∴$\frac{1}{{CM}^{2}}$+$\frac{1}{{CN}^{2}}$=$\frac{1}{{（4-a）}^{2}}$+$\frac{1}{{（3-b）}^{2}}$=$\frac{1}{16}$•$\frac{{x}^{2}}{{（x+y-1）}^{2}}$+$\frac{1}{9}$•$\frac{{y}^{2}}{{（x+y-1）}^{2}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，
設(shè)x+y=m，則x=m-y；
則$\frac{{（m-y）}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（m-1）²，
即25y²-18my+9m²-144（m-1）²=0，
故△=（18m）²-4×25×（9m²-144（m-1）²）≥0，
即24m²-50m+25≥0，
解得，m≥$\frac{5}{4}$或m≤$\frac{5}{6}$（不合題意，舍去）；
又$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{AM}$的夾角之內(nèi)，所以x≥0，y≥0，對應(yīng)方程有正根；
又m≥$\frac{5}{4}$，∴y₁+y₂=$\frac{18m}{25}$＞0，滿足題意，
∴x+y的最小值$\frac{5}{4}$．
【解二】由題意建立平面直角坐標系，如圖所示；
設(shè)點M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；
∵$\overrightarrow{AC}$=（3，4），$\overrightarrow{AM}$=（3，a），$\overrightarrow{AN}$=（b，4）；
又∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，（x+y≥1）
∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+yb=3}\\{xa+4y=4}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{4b-12}{ab-12}$，y=$\frac{3a-12}{ab-12}$；
最好運用三角換元來做比較好，根據(jù)方程組求出x，y（而不是a，b），然后令4-a 分之一為sina，3-b 分之一為cosa，帶進去計算出x+y是一個關(guān)于sina，cosa的函數(shù)，比較容易看出他的最小值
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是較難的題目．