Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同的切線，求實數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)b=

1-a

2

時，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1，b=0時，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，建立方程，即可求實數(shù)a，b的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，當(dāng)且僅當(dāng)

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），分類討論，即可得出函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值．

解答：解：（1）因為f(x)=

1

3

x3-ax，g（x）=bx²+2b-1，
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx．…（1分）
因為曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1）．
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，…（2分）
解得a=

1

3

，b=

1

3

．…（3分）
（2）當(dāng)a=1-2b時，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0），
所以h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．…（4分）
令h'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0．
當(dāng)x變化時，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）．…（5分）
故h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．…（6分）
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，當(dāng)且僅當(dāng) 

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

…（7分）
即

- 8 3 +2(1-a)+2a-a＜0 - 1 3 + 1-a 2 +a-a＞0 -a＜0.

解得0＜a＜

1

3

．
所以實數(shù)a的取值范圍是(0，

1

3

)．…（8分）
（3）當(dāng)a=1，b=0時，h(x)=

1

3

x3-x-1．
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
由于h(-2)=-

5

3

，h(1)=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．…（9分）
①當(dāng)t+3＜1，即t＜-2時，…（10分）[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…ks5u…（11分）
②當(dāng)-2≤t＜1時，[h（x）]_min=h(1)=-

5

3

．…（12分）
③當(dāng)t≥1時，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…（13分）
綜上可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值為[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1).

…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．