已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b+(x∈R),且f(0)=1.
(1)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若y=f(x)在x=1處的切線與y軸交于點B,且A(1,f(1)),求d(a)=|AB|2在a∈[c,+∞]的最小值;
(3)若a=-
1
2
,Mn=f(1)+
1
2
f(2)+
1
3
f(3)+…+
1
n
f(n)-(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
),an=
2n-1
6Mn
(n∈N*),Sn=a1+a3+…+an,求證:Sn
3
4
分析:(1)先根據(jù)條件求出b的值,欲使f(x)在R上單調(diào)遞增,只需f'(x)=3x2+a≥0恒成立,將參數(shù)a分離出來,研究不等式另一側(cè)的最值即可;
(2)先求出A點坐標(biāo),然后求出f(x)在x=1處的切線方程,求出點B的坐標(biāo),將d(a)=|AB|2的表達式求出來,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸有關(guān)進行討論即可求出最小值.
(3)先求出f(x)的解析式,將其變形成
1
x
[f(x)-1]=x2-
1
2
,代入Mn的等式中,化簡可求出Mn,從而求出an,利用裂項求和法求出前n項和,最后利用放縮法即可得到不等式.
解答:解:(1)由f(0)=1,得b=1,這時f(x)=x3+ax+1,f'(x)=3x2+a≥0恒成立
∴a≥-3x2得a≥0
(2)∵f(1)=1+a+1=2+a,即A(1,2+a),而x=1時,f'(1)=3+a
故在x=1處f(x)的切線方程為y-(2+a)=(a+3)(x-1)
當(dāng)x=0時,y=-1,即B(0,-1)
∴d(a)=|AB|2=1+(a+3)2,a∈[c,+∞)
當(dāng)c<-3時,d(a)的最小值為1
當(dāng)c≥-3時,d(a)的最大值為d(c)=(c+3)2+1
(3)證明:a=-
1
2
時,f(x)=x3-
1
2
x+1,故
1
x
[f(x)-1]=x2-
1
2

Mn=f(1)+
1
2
f(2)+
1
3
f(3)+…+
1
n
f(n)-(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

=
1
1
[f(1)-1]+
1
2
[f(2)-1]+…+
1
n
[f(n)-1]

=(12+22+…+n2)-
n
2
=
n
6
(n+2)(2n-1)

an=
2n-1
6Mn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Sn=a1+a3+…+an=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
) <
3
4
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及不等式的證明,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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