Question

P點在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上運動，Q、R分別在兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上運動，則|PQ|+|PR|的最大值為

 

，最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．設(shè)橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PQ|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，同理：|PR|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，從而可求|PQ|+|PR|的最大值與最小值．

解答： 解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的兩焦點為（-1，0），（1，0），恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．
設(shè)橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PQ|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1
同理：|PR|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小為|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大為|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的最大值為6，最小值為2，
故答案為：6；2．

點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，考查線段和的取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．