Question

對任意實數(shù)、，函數(shù)、滿足，且，，，。

（1）求、的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；

（3）已知，設(shè)，是否存在整數(shù)和，使得不等式對任意正整數(shù)恒成立？若存在，分別求出和的集合，并求出的最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）取，則。

取得

故是首項為1、公比為的等比數(shù)列，

∴

取，得

即

∴是公差為2的等差數(shù)列。

 又，因此，

 即

（2）

∴

兩式相減得，

。

（3）

∴

∴為增函數(shù)，故。

 

又

∴

因此，當(dāng)，且時，恒成立。

∴存在整數(shù)m＝0，－l，－2，－3，…，M＝3，4，5，6，…，

使得對任意正整數(shù)，不等式恒成立。

此時，m的集合是{0，－l，－2，－3，…}，

M的集合是{3，4，5，6，…}且。