Question

（1）已知冪函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（2，8），求f（x）的解析式；
（2）已知f(

x+3

2

)=x2-2x，求f（x）的解析式；
（3）已知2f（x）+f（-x）=3x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)的解析式，再將點(diǎn)（2，8）代入，求出參數(shù)的值，得到本題結(jié)論；
（2）利用換元法求函數(shù)f（x）的解析式，得到本題結(jié)論；
（3）將條件中的“x”用“-x”代入，得到關(guān)于f（x）、f（-x）的方程組，解方程組，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，
∴記f（x）=x^α，
∵冪函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（2，8），
∴2^α=8，
∴α=3．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x³．
（2）∵f(

x+3

2

)=x2-2x，
∴設(shè)

x+3

2

=t，
x=2t-3，
f（t）=（2t-3）²-2（2t-3）
=4t²-16t+3．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=4x²-16x+15．
（3）∵2f（x）+f（-x）=3x+1，①
∴將“x”用“-x”代入，得到：
2f（-x）+f（x）=-3x+1，②
∴由①×2-②得：
3f（x）=9x+1，
∴f（x）=3x+

1

3

．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=3x+

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法、換元法、方程組法求函數(shù)的解析式，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．