Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）′的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜b＜a時(shí)，求證：alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可求直線l的方程及實(shí)數(shù)m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）將不等式進(jìn)行等價(jià)變形，利用凸凹函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，ln1），即P（1，0）
∴f′（x）=

1

x

，即切線斜率為k=f′（1）=1，
∴直線l的方程為y=x-1
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為Q（x₀，x₀-1）
∴

x0-1= 1 2 x 2 0 +mx0+ 7 2 g′(x0)=x0+m=1

，
解得m=-2或4
∵m＜0，∴x₀=-2
故所求直線方程為y=x-1，m的值是-2．
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+2
求導(dǎo)：h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，x＞0，
由h'（x）＞0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h'（x）＜0得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值，h（1）=ln1-1+2=1．
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln

x

4-x

．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值．a(chǎn)＞0，b＞0，
不妨設(shè)a+b=4，
則alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•

a+b

2

ln（

a+b

2

）=（a+b）ln

a+b

2

，
∴alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

，
∵0＜b＜a，∴等號(hào)取不到，
故alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性，極值和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．