設函數(shù)f(x)的定義域、值域均為R,f(x)的反函數(shù)f-1(x),且對任意實數(shù)x,均有f(x)+f-1(x)<x,定義數(shù)列{an}:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,…

(1)求證:an+1+an-1an(n=1,2,…);

(2)設bn=an+1-2an,n=0,1,2,…,求證:bn<(-6)()n(n∈N*).

(3)是否存在常數(shù)A和B,同時滿足

①當n=0及n=1時,有an=成立;

②當n=2,3,…時,有an成立.

如果存在滿足上述條件的實數(shù)A、B,求出A、B的值;如果不存在,證明你的結論.

答案:(1)證明:∵f(x)+f-1(x)<x,令x=an,∴f(an)+f-1(an)<an,

即an+1+an-1an.                                                            

(2)證明:∵an+1an-an-1,∴an+1-2an(an-2an-1),

即bnbn-1.∵b0=a1-2a0=-6,

∴bn<()nb0=(-6)()n(n∈N*).                                                

(3)解:由(2)知:an+1<2an+(-6)()n,

假設存在常數(shù)A和B,使得an=對于n=0、1成立,則a0=A+B=8,a1==10,

解得A=B=4.                                                                

下面用數(shù)學歸納法證明an對于n=2,3,…成立.

①當n=2時,由an+1+an-1an得a2a1-a0=×10-8=17=,

∴n=2時,an成立.

②假設n=k(k≥2)時,不等式成立,即ak,

則ak+1<2ak+(-6)()k<2×+(-6)()k=.

這說明n=k+1時,不等式成立.

綜合①②可知:an對于n=2,3,…成立.

∴A=B=4滿足題設.

練習冊系列答案
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(09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一理)(14分)

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   (Ⅱ)若上是增函數(shù),求a的取值范圍;

   (Ⅲ)是否存在a,使得當時,f(x)有最大值-6.

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x的取值范圍是                  .

 

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