Question

如圖，已知△ABC（|

AB

|＞|

AC

|）的面積是3

3

，且則

AB

•

AC

=6，BC=

13

，M是BC的中點，過M作MH⊥AB于H，則

MH

•

BC

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：由△ABC的面積是3

3

，得

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=3

3

，由

AB

•

AC

=6，得|

AB

||

AC

|cosA=6，由兩式可求得角A，進(jìn)而可得|

AB

||

AC

|=12③，由余弦定理可得BC²=AC²+AB²-AB•ACcosA=（AB+AC）²-3AB•AC，即13=（AB+AC）²-3×12④，聯(lián)立③④可求AB=4，AC=3，作CQ垂直AB于Q，由于M為BC中點，則

MH

•

BC

=

1

2

CQ

•(

AC

-

AB

)=

1

2

CQ

•

AC

=

1

2

CQ

•

CA

，由數(shù)量積定義可求答案．

解答： 解：由△ABC的面積是3

3

，得

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=3

3

，
∴|

AB

||

AC

|sinA=6

3

①，
由

AB

•

AC

=6，得|

AB

||

AC

|cosA=6②，
由①②得tanA=

3

，∴A=60°，
則|

AB

||

AC

|=12，
在△ABC中，由余弦定理得，BC²=AC²+AB²-AB•ACcosA=（AB+AC）²-3AB•AC，即13=（AB+AC）²-3×12，
解得AB+AC=7，又AB×AC=12，可求得AB=4，AC=3，
作CQ垂直AB于Q，∵M(jìn)為BC中點，∴MH=

1

2

CQ，
∴

MH

•

BC

=

1

2

CQ

•(

AC

-

AB

)=

1

2

CQ

•

AC

=

1

2

CQ

•

CA

=-

1

2

×3sin60°×3×cos30°=-

27

8

，
故答案為：-

27

8

．

點評：本題考查三角形面積公式、向量數(shù)量積運算、余弦定理等知識，屬中檔題．