Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，AB為長(zhǎng)為

7

2

的動(dòng)弦，P為直線(xiàn)x=4上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若AB過(guò)點(diǎn)F，
（i）求直線(xiàn)AB的方程；
（ii）判斷直線(xiàn)PA，PF，PB的斜率是否依次成等差數(shù)列，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求AOB面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）（i）設(shè)直線(xiàn)AB：x=ty+1，代入3x²+4y²-12=0，消去x可得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理可得t的方程，代入可求直線(xiàn)方程；（ii）
不妨令P（4，y₀），利用斜率公式可說(shuō)明k_PA+k_PB=2k_PF；
（Ⅱ）可知直線(xiàn)AB存在斜率，設(shè)AB：y=kx+m，代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式可表示三角形面積，通過(guò)換元根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；

解答： 解：（Ⅰ）（i）F（1，0），
設(shè)直線(xiàn)AB：x=ty+1，代入3x²+4y²-12=0，消去x可得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

-6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

，
則由弦長(zhǎng)公式

49

4

=AB2=(1+t2)[(y1+y2)2-4y1y2]，可知
t=±

2

3

，直線(xiàn)AB：x=±

2

3

y+1．
（ii）不妨令P（4，y₀），
∵k_PA+k_PB=

y0-y1

3-ty1

+

y0-y2

3-ty2

=

6y0-(3+ty0)(y1+y2)+2ty1y2

9-3t(y1+y2)+t2y1y2

=

2

3

y0=2k_PF，
∴直線(xiàn)PA，PF，PB的斜率依次成等差數(shù)列；
（Ⅱ）不妨令A(yù)B：y=kx+m（k不存在時(shí)，弦長(zhǎng)的最大值是短軸長(zhǎng)2

3

＜

7

2

，故k一定存在．）
代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
則x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，
∴

49

4

=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]⇒m2=4k2+3-

49

192

•

(4k2+3)2

k2+1

，
又有S²_△AOB=

1

4

AB2d2=

49

16

[

4k2+3

1+k2

-

49

192

•(

4k2+3

1+k2

)2]，
令t=

4k2+3

1+k2

∈[3，4]，
可轉(zhuǎn)化為

492

16×192

(t-

96

49

)2+3，t=3時(shí)，S_△AOB=

21

32

5

，
考慮到AB可以過(guò)中心，故取值范圍為（0，

21

32

5

]．

點(diǎn)評(píng)：該題考查橢圓的方程性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及等差數(shù)列等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力．