Question

已知f（x）=lnx-x²+bx+3．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，m]上單調(diào)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），令x=2求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）的斜率，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可知y=2x-

1

x

在[1，m]上單調(diào)遞增，在[1，m]上恒成立，從而求出b的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-2x+b直線2x+y+2=0斜率為-2，
令f′（2）=

1

2

得b=4，∴f（x）=lnx-x²+4x+3
∴f′(x)=

1

x

-2x+4=

-2x2+4x+1

x

=0得x=

2± 6

2

∵6+ln3＞6，∴x=1時(shí)，f（x）在[1，3]上最小值6；（6分）
（2）令f′(x)=

1

x

-2x+b≥0得b≥2x-

1

x

，
在[1，m]上恒成立而y=2x-

1

x

在[1，m]上單調(diào)遞增，
最大值為2m-

1

m

，∴b≥2m-

1

m

令f′(x)=

1

x

-2x+b≤0得b≤2x-

1

x

，
在[1，m]上恒成立而y=2x-

1

x

在[1，m]單調(diào)遞增，最小值為y=1，
∴b≤1
故b≥2m-

1

m

或b≤1時(shí)f（x）在[1，m]上單調(diào)． （12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，需要掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．