Question

14．已知O為坐標原點，A，B兩點的坐標均滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1≤0}\\{x+y-3≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$則tan∠AOB的最大值等于$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，只需求出A，B在圖中的位置，∠AOB最大，即tan∠AOB最大即可．

解答 解：作出可行域，則A、B在圖中所示的位置時，∠AOB最大，即tan∠AOB最大，
由題意可得A（1，2），B（2，1）
∴K_OA=tan∠AOM=2，K_OB=tan∠BOM=$\frac{1}{2}$
∵∠AOB=∠AOM-∠BOM，
∴tan∠AOB=tan（∠AOM-∠BOM）
=$\frac{tan∠AOM-tan∠BOM}{1+tan∠AOMtan∠BOM}$
=$\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2×\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{4}$，
所以tan∠AOB的最大值為$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．巧妙識別目標函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)．