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13.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)是否存k使△OAB的面積等于1,若存在求k的值,若不存在說明理由.

分析 (1)畫出圖象,利用韋達(dá)定理求出直線的斜率,通過斜率的乘積為-1,證明OA⊥OB;
(2)求出三角形的面積,然后利用方程是否有解,得出結(jié)果.

解答 解:(1)如圖所示,由拋物線y2=-x與直線y=k(x+1),消去x得,ky2+y-k=0.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1•y2=-1,y1+y2=-1k
∵A、B在拋物線y2=-x上,
∴y1=-x1,y2=-x2,∴y1•y2=x1x2
∵kOA•kOB=y1x1y2x2═-1,∴OA⊥OB.
(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N,顯然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1-y2|,
∴S△OAB=1•y1+y224y1y24+1k2=1,方程不成立,
不存在k使△OAB的面積等于1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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