Question

20.如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最�。�

（半個橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1米）

Answer 1

20.（1）解：如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），

橢圓方程為+=1.

將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得a=,此時l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱寬約為33.3米.

 

（2）解法一：由橢圓方程+=1,得+=1.

因為+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.

當S取最小值時，有==,得a=11,b=

此時l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.

解法二：由橢圓方程+=1,

得+=1.

于是b²=·.

 

a²b²=（a²－121++242）≥（2+242）=81×121,

 

即ab≥99,當S取最小值時，有a²－121=.

得a=11,b=,以下同解法一.