Question

已知函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若以，圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與q（x）=f（1+x²）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

解．（1）F

∵a＞0，由F'（x）＞0?x∈（2a，+∞），
由F'（x）＜0?x∈（0，2a）．
∴F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2a），
單調(diào)遞增區(qū)間為（2a，+∞）
（2），
，
則，
所以實(shí)數(shù)a的最小值為．
（3）若的圖象
與q（x）=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，
即有四個(gè)不同的根，
亦即有四個(gè)不同的根．
令，
則．
當(dāng)x變化時(shí)G'（x）．G（x）的變化情況如下表：

由表格知：．
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52670.png' />可知，當(dāng)時(shí)，
方程有四個(gè)不同的解．
∴的圖象與
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．
分析：（1）先由f（x）和g（x）構(gòu)造得到F（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，小于0得減區(qū)間．
（2） 切線的斜率k≤1恒成立即導(dǎo)數(shù)小于等于1恒成立，從而建立起a與x的關(guān)系式，利用恒成立求得a．
（3）p（x）與q（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程有四個(gè)不同的根，分離出m后，轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)難題，主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和恒成立問題．
注意函數(shù)的定義域，分離參數(shù)在解決恒成立問題中的應(yīng)用．