是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立,其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng);若不存在,試說(shuō)明理由.
分析:設(shè)an=pn+q(p,q為常數(shù)),則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1,
Sn=
1
2
pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=
3
2
pn2+(q-
p
2
)n-(p+q)
,
kp2n2+2kpqn+kp2-1=
3
2
pn2+(q-
p
2
n)-(p+q)
,故有
kp2=
3
2
p…①
2kpq=q-
p
2
…②
kq2-1=-(p+q)…③
,由此能夠求出常數(shù)k=
81
64
及等差數(shù)列an=
32
27
n-
8
27
滿足題意.
解答:解:假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立.
設(shè)an=pn+q(p,q為常數(shù)),則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1,
Sn=
1
2
pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=
3
2
pn2+(q-
p
2
)n-(p+q)
,
kp2n2+2kpqn+kp2-1=
3
2
pn2+(q-
p
2
n)-(p+q)

故有
kp2=
3
2
p…①
2kpq=q-
p
2
…②
kq2-1=-(p+q)…③
,

由①得p=0或kp=
3
2
.當(dāng)p=0時(shí),由②得q=0,而p=q=0不適合③,故p≠0把kp=
3
2
代入②,得q=-
p
4
q=-
p
4
代入③,又kp=
3
2
p=
32
27
,從而q=-
8
27
,k=
81
64
.故存在常數(shù)k=
81
64
及等差數(shù)列an=
32
27
n-
8
27
滿足題意.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)先假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立.然后再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行求解.
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(2011•鐘祥市模擬)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和
(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;
(2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式SpSq<Sm2成立;
(3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011屆湖北省夷陵中學(xué)、鐘祥一中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(12分)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和
(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;
(2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式SpSq<S成立;
(3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使ka-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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(本題滿分14分) 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和

(1)若,求的值;

(2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式成立;

(3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年湖北省、鐘祥一中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(12分)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和

    (1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;

    (2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式SpSq<S成立;

    (3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使ka-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

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