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7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足條件b2+c2-a2=bc=1,cosBcosC=-18,則△ABC的周長為2+5

分析 利用余弦定理求出角A,利用兩角和的余弦公式求出sinBsinC的值,
結(jié)合正弦定理求出△ABC外接圓的半徑R與邊長a,再求出b+c即可.

解答 解:△ABC中,b2+c2-a2=bc=1,
∴cosA=2+c2a22bc=bc2bc=12,
∴A=\frac{π}{3},
∴B+C=\frac{2π}{3},
即cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}
又cosBcosC=-\frac{1}{8},
∴sinBsinC=cosBcosC+\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}
∴bc=4R2sinBsinC=4R2×\frac{3}{8}=1,
解得R=\frac{\sqrt{6}}{3},其中R為△ABC的外接圓的半徑;
∴a=2RsinA=2×\frac{\sqrt{6}}{3}×sin\frac{π}{3}=\sqrt{2},
∴b2+c2-2=1,
解得b2+c2=3,
∴(b+c)2=b2+c2+2bc=3+2×1=5,
∴b+c=\sqrt{5},
∴△ABC的周長為a+b+c=\sqrt{2}+\sqrt{5}
故答案為:\sqrt{2}+\sqrt{5}

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理和余弦定理的靈活應(yīng)用問題,也考查了三角形內(nèi)角和與兩角和的余弦公式問題,是綜合性題目.

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