Question

已知a，b為常數(shù)，a¹0，函數(shù)．
（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點形成的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

（1），（2）①詳見解析，②

試題分析：（1）求具體函數(shù)極值問題分三步，一是求導(dǎo)，二是求根，三是列表，關(guān)鍵在于正確求出導(dǎo)數(shù)，即；求根時需結(jié)合定義區(qū)間進行取舍，如根據(jù)定義區(qū)間舍去負根；列表時需注意導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間的符號變化規(guī)律，這樣才可得出正確結(jié)論，因為導(dǎo)數(shù)為零的點不一定為極值點，極值點附近導(dǎo)數(shù)值必須要變號，（2）①利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性，首先要正確轉(zhuǎn)化，如本題只需證到在區(qū)間[1，2]上成立即可，由得只需證到在區(qū)間[1，2]上，因為對稱軸在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，因此只需證，而這顯然成立，②中條件“在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)”與①不同，它是要求在區(qū)間[1，2]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖像可得關(guān)于不等關(guān)系，再考慮，，可得可行域.
試題解析：（1）解:      2分
當時, ,
令得或(舍去)     4分
當時, 是減函數(shù),
當時, 是增函數(shù)
所以當時, 取得極小值為     6分
（2）令  
① 證明: 二次函數(shù)的圖象開口向上,
對稱軸且       8分
對一切恒成立.
又對一切恒成立.
函數(shù)圖象是不間斷的,
在區(qū)間上是增函數(shù).     10分
②解:
即
在區(qū)間上是增函數(shù)
對恒成立.
則對恒成立.
     12分
在(*)(**)的條件下, 且
且恒成立.
綜上,點滿足的線性約束條件是     14分
由所有點形成的平面區(qū)域為 (如圖所示),
其中
則
即的面積為.     16分