Question

【題目】已知函數(shù)， （）

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）有最小值.記的最小值為，求的值域；

（Ⅲ）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)， （），求的取值范圍，并比較與0的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在， 單調(diào)遞增; （Ⅱ）; （Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)首先求得函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可得在， 單調(diào)遞增；

(Ⅱ)結(jié)合(1)的結(jié)論可得.結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)有值域?yàn)?/span>

(Ⅲ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為，構(gòu)造新函數(shù)即可證得題中的結(jié)論

試題解析：

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>.

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，所以在， 單調(diào)遞增，

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知， 單調(diào)遞增，

對(duì)任意， ，

因此，存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)， ， 遞減，當(dāng)時(shí)， ， 遞增.

所以有最小值.

而，所以在上遞增.

所以，即的值域?yàn)?/span>

（Ⅲ）定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， 在上遞增，舍.

當(dāng)時(shí)， 在上遞增，在上遞減，

， ， ， ，

所以， .

設(shè)，

所以在上遞增， ，即

所以，

又，所以， 且在上遞減

所以，即， .

所以