Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=0，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和；
（3）設(shè)P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入已知的等式，由S₁=a₁=2，得到第2項(xiàng)與第1項(xiàng)的差為常數(shù)2，然后由已知的等式，再寫一式，兩式相減得第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差也為常數(shù)2，從而得到此數(shù)列為首項(xiàng)是0，公差也是2的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）求出b_n，設(shè)前n項(xiàng)和為T_n，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和；
（3）分別求出P_n與Q_n，作差，可得結(jié)論．

解答：解：（1）把n=1，代入n•a_n+1=S_n+n（n+1）得：1•a₂=S₁+1=a₁+1=2+1=3，即a₂-a₁=2，
∵n•a_n+1=S_n+n（n+1）①，∴n≥2時(shí)，（n-1）•a_n=S_n-1+n（n-1）②，
①-②得：n•a_n+1-（n-1）•a_n=a_n+2n，
化簡(jiǎn)得：a_n+1-a_n=2（n≥2），
∵a₂-a₁=2，∴a_n+1-a_n=2（n∈N⁺），
即數(shù)列{a_n}是以0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=0+2（n-1）=2（n-1）；
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
T_n=b₁+b₂+b₃++b_n=3⁰+2•3²+3•3⁴+…+n•3^2n-2，①
∴9T_n=3⁰+2•3²+3•3⁴+…+n•3²ⁿ，②
②-①得：8T_n=n•3²ⁿ-（3⁰+3²+3⁴+…+3^2n-2）=n•3²ⁿ-

32n-1

8

∴T_n=

(8n-1)32n-1

64

；
（3）∵a_n=2（n-1），
∴P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=

n(6n-6)

2

=n（3n-3），Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8=

n(18+4n+14)

2

=n（2n+16）
∴P_n-Q_n=n（3n-3）-n（2n+16）=n²-19n
若n²-19n＞0，即n＞19時(shí)，P_n＞Q_n；若n²-19n=0，即n=19時(shí)，P_n=Q_n；若n²-19n＜0，即1≤n＜19時(shí)，P_n＜Q_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列求和，考查大小比較，確定數(shù)列的通項(xiàng)，掌握求和公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．