Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，若B=$\frac{π}{6}$，BC邊上中線AM=$\sqrt{7}$，則△ABC的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化邊為角可求得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而可得A，C，可知△ABC為等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面積公式可求結(jié)果．

解答 解：∵$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
∴由正弦定理，得$\frac{2sinB-\sqrt{3}sinC}{\sqrt{3}sinA}$=$\frac{cosC}{cosA}$，化簡(jiǎn)得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
又∵∠B=$\frac{π}{6}$，∴C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$，
可知△ABC為等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM²=AC²+MC²-2AC•MCcos120°，
即7=b2+（$\frac{2}$）2-2×b×$\frac{2}$×cos120°，
解得b=2，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$b²sinC=$\frac{1}{2}$×${2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟記相關(guān)公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．