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13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c且滿足2b3c3a=cosCcosA,若B=π6,BC邊上中線AM=7,則△ABC的面積為3

分析 利用正弦定理化邊為角可求得cosA=32,從而可得A,C,可知△ABC為等腰三角形,在△AMC中利用余弦定理可求b,再由三角形面積公式可求結(jié)果.

解答 解:∵2b3c3a=cosCcosA
∴由正弦定理,得2sinB3sinC3sinA=cosCcosA,化簡(jiǎn)得cosA=32,
∴A=π6
又∵∠B=π6,∴C=π-A-B=2π3
可知△ABC為等腰三角形,
在△AMC中,由余弦定理,得AM2=AC2+MC2-2AC•MCcos120°,
即7=b2+(\frac{2})2-2×b×2×cos120°,
解得b=2,
∴△ABC的面積S=12b2sinC=12×22×32=3
故答案為:3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,熟記相關(guān)公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.

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